概率统计方法¶
简介¶
Python 中常用的统计工具有 Numpy, Pandas, PyMC, StatsModels 等。
Scipy 中的子库 scipy.stats 中包含很多统计上的方法。
导入 numpy 和 matplotlib：
In [1]:
%pylab inline
In [2]:
heights = array([1.46, 1.79, 2.01, 1.75, 1.56, 1.69, 1.88, 1.76, 1.88, 1.78])
Numpy 自带简单的统计方法：
In [3]:
print 'mean, ', heights.mean()
print 'min, ', heights.min()
print 'max, ', heights.max()
print 'standard deviation, ', heights.std()
导入 Scipy 的统计模块：
In [4]:
import scipy.stats.stats as st
其他统计量：
In [5]:
print 'median, ', st.nanmedian(heights) # 忽略nan值之后的中位数
print 'mode, ', st.mode(heights) # 众数及其出现次数
print 'skewness, ', st.skew(heights) # 偏度
print 'kurtosis, ', st.kurtosis(heights) # 峰度
print 'and so many more...'
概率分布¶
连续分布¶
正态分布¶
以正态分布为例，先导入正态分布：
In [6]:
from scipy.stats import norm
In [7]:
x_norm = norm.rvs(size=500)
type(x_norm)
Out[7]:
直方图：
In [8]:
h = hist(x_norm)
print 'counts, ', h[0]
print 'bin centers', h[1]
归一化直方图（用出现频率代替次数），将划分区间变为 20（默认 10）：
In [9]:
h = hist(x_norm, normed=True, bins=20)
在这组数据下，正态分布参数的最大似然估计值为：
In [10]:
x_mean, x_std = norm.fit(x_norm)
print 'mean, ', x_mean
print 'x_std, ', x_std
将真实的概率密度函数与直方图进行比较：
In [11]:
h = hist(x_norm, normed=True, bins=20)
x = linspace(-3,3,50)
p = plot(x, norm.pdf(x), 'r-')
导入积分函数：
In [12]:
from scipy.integrate import trapz
通过积分，计算落在某个区间的概率大小：
In [13]:
x1 = linspace(-2,2,108)
p = trapz(norm.pdf(x1), x1)
print '{:.2%} of the values lie between -2 and 2'.format(p)
fill_between(x1, norm.pdf(x1), color = 'red')
plot(x, norm.pdf(x), 'k-')
Out[13]:
默认情况，正态分布的参数为均值0，标准差1，即标准正态分布。
可以通过 loc 和 scale 来调整这些参数，一种方法是调用相关函数时进行输入：
In [14]:
p = plot(x, norm.pdf(x, loc=0, scale=1))
p = plot(x, norm.pdf(x, loc=0.5, scale=2))
p = plot(x, norm.pdf(x, loc=-0.5, scale=.5))
另一种则是将 loc, scale 作为参数直接输给 norm 生成相应的分布：
In [15]:
p = plot(x, norm(loc=0, scale=1).pdf(x))
p = plot(x, norm(loc=0.5, scale=2).pdf(x))
p = plot(x, norm(loc=-0.5, scale=.5).pdf(x))
其他连续分布¶
In [16]:
from scipy.stats import lognorm, t, dweibull
支持与 norm 类似的操作，如概率密度函数等。
不同参数的对数正态分布：
In [17]:
x = linspace(0.01, 3, 100)
plot(x, lognorm.pdf(x, 1), label='s=1')
plot(x, lognorm.pdf(x, 2), label='s=2')
plot(x, lognorm.pdf(x, .1), label='s=0.1')
legend()
Out[17]:
不同的韦氏分布：
In [18]:
x = linspace(0.01, 3, 100)
plot(x, dweibull.pdf(x, 1), label='s=1, constant failure rate')
plot(x, dweibull.pdf(x, 2), label='s>1, increasing failure rate')
plot(x, dweibull.pdf(x, .1), label='0<s<1, decreasing failure rate')
legend()
Out[18]:
不同自由度的学生 t 分布：
In [19]:
x = linspace(-3, 3, 100)
plot(x, t.pdf(x, 1), label='df=1')
plot(x, t.pdf(x, 2), label='df=2')
plot(x, t.pdf(x, 100), label='df=100')
plot(x[::5], norm.pdf(x[::5]), 'kx', label='normal')
legend()
Out[19]:
离散分布¶
导入离散分布：
In [20]:
from scipy.stats import binom, poisson, randint
离散分布没有概率密度函数，但是有概率质量函数。
离散均匀分布的概率质量函数（PMF）：
In [21]:
high = 10
low = -10
x = arange(low, high+1, 0.5)
p = stem(x, randint(low, high).pmf(x)) # 杆状图
二项分布：
In [22]:
num_trials = 60
x = arange(num_trials)
plot(x, binom(num_trials, 0.5).pmf(x), 'o-', label='p=0.5')
plot(x, binom(num_trials, 0.2).pmf(x), 'o-', label='p=0.2')
legend()
Out[22]:
泊松分布：
In [23]:
x = arange(0,21)
plot(x, poisson(1).pmf(x), 'o-', label=r'$\lambda$=1')
plot(x, poisson(4).pmf(x), 'o-', label=r'$\lambda$=4')
plot(x, poisson(9).pmf(x), 'o-', label=r'$\lambda$=9')
legend()
Out[23]:
自定义离散分布¶
导入要用的函数：
In [24]:
from scipy.stats import rv_discrete
一个不均匀的骰子对应的离散值及其概率：
In [25]:
xk = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
pk = [.3, .35, .25, .05, .025, .025]
定义离散分布：
In [26]:
loaded = rv_discrete(values=(xk, pk))
此时， loaded 可以当作一个离散分布的模块来使用。
产生两个服从该分布的随机变量：
In [27]:
loaded.rvs(size=2)
Out[27]:
产生100个随机变量，将直方图与概率质量函数进行比较：
In [28]:
samples = loaded.rvs(size=100)
bins = linspace(.5,6.5,7)
hist(samples, bins=bins, normed=True)
stem(xk, loaded.pmf(xk), markerfmt='ro', linefmt='r-')
Out[28]:
假设检验¶
导入相关的函数：
- 正态分布
- 独立双样本
t检验，配对样本t检验，单样本t检验 - 学生
t分布
t 检验的相关内容请参考：
- 百度百科-
t检验：http://baike.baidu.com/view/557340.htm - 维基百科-学生
t检验：https://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-test
In [29]:
from scipy.stats import norm
from scipy.stats import ttest_ind, ttest_rel, ttest_1samp
from scipy.stats import t
独立样本 t 检验¶
两组参数不同的正态分布：
In [30]:
n1 = norm(loc=0.3, scale=1.0)
n2 = norm(loc=0, scale=1.0)
从分布中产生两组随机样本：
In [31]:
n1_samples = n1.rvs(size=100)
n2_samples = n2.rvs(size=100)
将两组样本混合在一起：
In [32]:
samples = hstack((n1_samples, n2_samples))
最大似然参数估计：
In [33]:
loc, scale = norm.fit(samples)
n = norm(loc=loc, scale=scale)
比较：
In [34]:
x = linspace(-3,3,100)
hist([samples, n1_samples, n2_samples], normed=True)
plot(x, n.pdf(x), 'b-')
plot(x, n1.pdf(x), 'g-')
plot(x, n2.pdf(x), 'r-')
Out[34]:
独立双样本 t 检验的目的在于判断两组样本之间是否有显著差异：
In [35]:
t_val, p = ttest_ind(n1_samples, n2_samples)
print 't = {}'.format(t_val)
print 'p-value = {}'.format(p)
p 值小，说明这两个样本有显著性差异。
配对样本 t 检验¶
配对样本指的是两组样本之间的元素一一对应，例如，假设我们有一组病人的数据：
In [36]:
pop_size = 35
pre_treat = norm(loc=0, scale=1)
n0 = pre_treat.rvs(size=pop_size)
经过某种治疗后，对这组病人得到一组新的数据：
In [37]:
effect = norm(loc=0.05, scale=0.2)
eff = effect.rvs(size=pop_size)
n1 = n0 + eff
新数据的最大似然估计：
In [38]:
loc, scale = norm.fit(n1)
post_treat = norm(loc=loc, scale=scale)
画图：
In [39]:
fig = figure(figsize=(10,4))
ax1 = fig.add_subplot(1,2,1)
h = ax1.hist([n0, n1], normed=True)
p = ax1.plot(x, pre_treat.pdf(x), 'b-')
p = ax1.plot(x, post_treat.pdf(x), 'g-')
ax2 = fig.add_subplot(1,2,2)
h = ax2.hist(eff, normed=True)
独立 t 检验：
In [40]:
t_val, p = ttest_ind(n0, n1)
print 't = {}'.format(t_val)
print 'p-value = {}'.format(p)
高 p 值说明两组样本之间没有显著性差异。
配对 t 检验：
In [41]:
t_val, p = ttest_rel(n0, n1)
print 't = {}'.format(t_val)
print 'p-value = {}'.format(p)
配对 t 检验的结果说明，配对样本之间存在显著性差异，说明治疗时有效的，符合我们的预期。
p 值计算原理¶
p 值对应的部分是下图中的红色区域，边界范围由 t 值决定。
In [42]:
my_t = t(pop_size) # 传入参数为自由度，这里自由度为50
p = plot(x, my_t.pdf(x), 'b-')
lower_x = x[x<= -abs(t_val)]
upper_x = x[x>= abs(t_val)]
p = fill_between(lower_x, my_t.pdf(lower_x), color='red')
p = fill_between(upper_x, my_t.pdf(upper_x), color='red')
